(1) Первісні ідеали Z є (0),(2),(3),(5),…; усі вони є максимальними, крім (0). (2) Якщо A = C[x], кільце поліномів в одній змінній над C, то простими ідеалами є (0) і (x − λ) для кожного λ ∈ C; знову всі вони є максимальними, крім (0).
Доведення (0) є простим ідеалом. Нехай a, b ∈ R таке, що a * b ∈ (0). Тоді a * b = 0, оскільки (0) містить лише 0. Оскільки R є цілісною областю і не має дільників нуля, або a = 0, або b = 0. Таким чином, або a ∈ (0), або b ∈ (0), що робить (0) первинним ідеалом.
Будь-який (лівий, правий або двобічний) ідеал містить нульовий ідеал і міститься в одиничному ідеалі.
Зворотне не завжди вірно: наприклад, у будь-якій непольовій інтегральній області нульовий ідеал є простим ідеалом, який є не максимальний.
Однією з визначальних властивостей простого ідеалу є те, що він не є повним кільцем. тому простий ідеал не може містити 1. тому a∈I.
(1) Первісні ідеали Z є (0),(2),(3),(5),…; усі вони є максимальними, крім (0). (2) Якщо A = C[x], кільце поліномів в одній змінній над C, то простими ідеалами є (0) і (x − λ) для кожного λ ∈ C; знову ж таки всі вони є максимальними, крім (0).