18.1.7 Лема. Продукти та обмежені частки Інтегровні функції за Ріманом є інтегровними за Ріманом. Подібним чином, абсолютне значення інтегрованих за Ріманом функцій є інтегровним за Ріманом.
Кожна неперервна функція f : Q → R інтегровна за Ріманом. Доведення: Оскільки f є обмеженим і o(f,x) = 0 для всіх x ∈ Q, твердження випливає з критерію Дарбу. Обмежена функція f : Q → R інтегровна за Ріманом тоді і тільки тоді, коли f неперервна майже скрізь.
Обмежена функція на компактному інтервалі [a, b] інтегровна за Ріманом тоді і тільки тоді, коли вона неперервна майже всюди (множина його точок розриву має міру нуль, у сенсі міри Лебега). Це теорема Лебега-Віталі (для характеристики інтегрованих функцій Рімана).
Функції, інтеграли яких не можна виразити елементарними функціями, не називаються замкнутими інтегровними. Для таких функцій певні інтеграли можна визначити лише за допомогою методів наближення.
Небезпека: Кожна безперервна функція може бути інтегрована, але зворотне не виконується: є функції, які можна інтегрувати на інтервалі і не є там (усюди) неперервними!
Кожна монотонна функція і кожна неперервна функція є інтегровною за Ріманом.