Розширення серії Тейлора coth є 1/x + x/3 + 2x^3/45 + 4x^5/945 + …, де x – кут у радіанах.
Ряд Тейлора визначається як представлення функції як нескінченної суми членів, які обчислюються зі значень похідних функції в одній точці. Формула розкладання в ряд Тейлора: f(x)=f(a)+f′(a)1! (x−a)+f”(a)2! (x−a)2+f”′(a)3!
Гіперболічний котангенс x дорівнює оберненому гіперболічному тангенсу. coth ( x ) = 1 tanh ( x ) = e 2 x + 1 e 2 x − 1 . У термінах традиційної функції котангенса з комплексним аргументом тотожність є. coth (x) = i cot (i x).
Практичне застосування формули ряду Тейлора Приклад: Давайте знайдемо ряд Тейлора для гіперболічної функції синуса f(x) = sinh x з центром у x 0 = 0, використовуючи той факт, що sinh x є похідною функції гіперболічного косинуса cosh x, який має власне розширення ряду Тейлора. sinhx=∑∞n=0x2n+1(2n+1)!
У математиці — ряд Тейлора або розкладання функції Тейлора нескінченна сума доданків, які виражаються через похідні функції в одній точці. Для більшості поширених функцій функція та сума її ряду Тейлора дорівнюють поблизу цієї точки.
Вираз для ряду Тейлора, поданий вище, можна описати як розкладання f(x+h) відносно точки x. Також прийнято розкладати функцію f(x) навколо точки x = 0. Отриманий ряд описується як ряд Маклорена: f(x) = f(0) + xf (0) + x2 2!