Це також правда, що кожен компакт обмежений, але нам потрібне визначення обмеженості, яке застосовне до всіх метричних просторів, а не лише до. «Обмежена» має означати, що підмножина «не тягнеться до нескінченності», тобто що вона міститься в деякій відкритій кулі навколо деякої точки.
Визначення 1.1: Нехай (𝑋,𝑑) — метричний простір, а Y — підмножина X. Ми говоримо, що Y є обмеженим якщо існує куля 𝐵(𝑥,𝑟) у 𝑋 така, що 𝑌 ⊆ 𝐵(𝑥,𝑟). Твердження 1.1: кожен повністю обмежений метричний простір є обмеженим. (𝑚),𝜖), 𝑦 ∈ 𝐵(𝑥(𝑘),𝜖) для 1 ≤ 𝑘,𝑚 ≤ 𝑛.
Твердження 2.1 Метричний простір X є компактним тоді і тільки тоді, коли кожна сукупність F замкнутих множин у X із властивістю кінцевого перетину має непорожній перетин. точок в X має збіжну підпослідовність.
Нехай T=(S,τ) — компактний простiр. Тоді за визначенням кожне відкрите покриття S має скінченне підпокриття. Отже кожне зліченне відкрите покриття S має скінченне підпокриття. Отже, за визначенням T є зліченно компактним.
Ми кажемо, що метричний простір сепарабельний якщо воно має зліченну щільну підмножину. Використовуючи той факт, що будь-яка точка замикання множини є межею послідовності в цій множині (так?), легко показати, що Q є щільним у R, і тому R є роздільним. Дискретний метричний простір сепарабельний тоді і тільки тоді, коли він зліченний.