Послідовність є збіжною, якщо вона прагне до скінченного числа ; послідовність є розбіжною, якщо вона прагне до нескінченності або не має межі.
2/ Теореми збіжності * Якщо (un) зростає і зростає, то (un) сходиться. Послідовність «підіймається», але блокується «стіною», тому вона має кінцеву межу. * Якщо (un) спадає і зменшується, то (un) сходиться. Послідовність «іде вниз», але заблокована «стіною», тому вона має кінцеву межу.
Щоб продемонструвати, що послідовність функцій (fn) рівномірно збігається до f на I, ми можемо: вивчити варіації функції fn−f f n − f на I (наприклад, диференціюючи її), щоб визначити supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | fn(x)−f(x) | і продемонструйте, що ця величина прагне до 0 (див. цю вправу);
Ми говоримо, що послідовність {an} збіжна (або збіжна, або має межу) якщо воно збігається до певного числа а . Послідовність розбіжна (або є розбіжною), якщо вона не збігається до жодного числа. n + 1 n = 1. (an − a) = 0 і an → a, коли n → ∞.
Послідовність називається збіжною якщо вона наближається до певної межі (D’Angelo and West 2000, p. 259). Будь-яка обмежена монотонна послідовність сходиться. Будь-яка необмежена послідовність розходиться.
Доведення: якщо ряд ( ∑ f n ) нормально збіжний, достатньо встановити a n = m n, щоб отримати відповідний числовий ряд. І навпаки, за гіпотезою маємо: числовий ряд ( ∑ a n ) збіжний і ( ∀ x ∈ I ) | fn(x) | ≤ a n, тому m n = sup x ∈ I { | fn(x) | } ≤ a n .
Якщо r = 1, перевірка співвідношення є непереконливою, і ряди можуть сходитися або розходитися. де "lim sup" позначає верхню межу (можливо, ∞; якщо межа існує, це те саме значення). Якщо r < 1, то ряд збігається . Якщо r > 1, то ряд розбігається.