Ортогональність і скалярний добуток. Два вектори ортогональні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює . Дійсно: u → ⊥ v → якщо і тільки тоді, ( u → , v → ) = ± π 2 тоді і тільки тоді, ( u → , v → ) = 0 тоді і тільки тоді, коли u → ⋅ v → = 0 .
Власність Два ненульові вектори ортогональні тоді і тільки тоді, коли u ⋅v =0. Примітка: 0 ортогональний до будь-якого вектора. Приклад: Нехай u і v — два вектори, що ∥u ∥=3, ∥v ∥=4 і ∥u +v ∥=5.
Щоб обчислити скалярний добуток, записуємо компоненти двох векторів, множимо відповідні компоненти кожного вектора та додаємо отримані добутки.
Це так просто, і це працює навпаки: якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні.
Два вектори →u і →v у просторі ортогональні тоді і тільки тоді, коли →u. →v=0. . Дві прямі D і Δ з відповідними напрямними векторами →u і →v називаються ортогональними, якщо →u і →v є ортогональними.
У загальному випадку процес знаходження вектора, ортогонального заданому вектору, зводиться до розв’язування системи лінійних рівнянь . Наприклад, нехай u = ⟨ a , b ⟩ Ми хочемо знайти вектор, ортогональний до тобто вектора v = ⟨ x , y ⟩ такого, що u ⋅ v = 0 ⟹ ⟨ a , b ⟩ ⋅ ⟨ x , y ⟩ = 0 ⟹ ax + by = 0 за визначенням ортогональності.